科恩

注

本文节选自胡作玄. 菲尔兹奖与20世纪数学(四)[J]. 科学, 2002, 54(1):30-34.

Paul Joseph COHEN (科恩)

在42位菲尔兹奖获得者中，只有一位主要是因为在数理逻辑上的成就而获奖，他就是1966年获奖者、美国数学家科恩(P.Cohen)。这似乎与数理逻辑在20世纪数学中的重要性不协调，而实际上有历史的原因。20世纪最初30年，数理逻辑起着举足轻重的作用。其中至少有两方面的问题备受关注：一方面是希望把全部数学建立在某种无矛盾的公理系统之上，而这个系统最好是集合论；另一方面是集合论的种种问题。

第一方面的问题由于奥地利数学家哥德尔($K．G\ddot{o}del$)在1931年证明不完全性定理而被否定。它表明：一个包含初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的。也就是说，在这个系统中存在着命题A，A在系统中既不能证明也不能被否定。由此，数理逻辑走上自己独特的发展道路，形成了证明论、递归论、集合论和模型论四大分支，成为与数论、代数、几何、拓扑、分析等一样的专门学科。这样，集合论的同题便突出出来，归根结底，20世纪许多新兴学科如抽象代数、拓扑学、测度与积分理论、泛函分析等都建立在集合论的基础之上。

众所周知，集合论是德国数学家康托一人的独创，19世纪末得到了大多数数学家的承认。但是，它也遇到三大问题：一是集合论悖论的出现，二是连续统假设(简称CH)是否成立，三是选择公理是否成立。这三大问题也推动20世纪集合论三大成就：一是德国数学家策梅罗(E. Zermelo)在1908年首先建立集合论的公理系统，这个公理后来经过多人补充修正成为标准的集合论公理系统，简称ZF公理系统，这样通过公理化解决了悖论问题。但是，另外两个问题仍是悬案。集合论第二大成就是1938年哥德尔证明。如果ZF无矛盾，则ZF和连续统假设放在一起也是无矛盾的，换言之，连续统假设是相对无矛盾的。同样，他还证明选择公理(简称AC)也是相对无矛盾的。

所谓连续统假设，就是在整数集合的基数$\aleph_0$。与实数集合的基数 $C$ 之间没有其他的基数。如果把无穷基数按大小顺序排列：$\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\cdots$。则连续统假设是指 $C=\aleph_1$，而集合论的第三大成就就是科恩在1963年证明：由ZF既推不出连续统假设，也推不出连续统假设不成立，换句话说，科恩证明ZF与CH是相对独立的。同样，他也证明选择公理的独立性。他的证明用到他独创的力迫法，在集合论中有重要应用，特别是证明许多数学命题在ZF或更一般的系统中是不可判定的。

科恩是波兰犹太移民的后裔，于1934年4月2日生于美国新泽西州的长溪，不到20岁就从纽约的布鲁克林学院毕业，然后进入芝加哥大学读研究生，20岁获得硕士学位，1958年获博士学位，1957-1958年在罗切斯特大学任教，其后在麻省理工学院任教一年。l959-1961年在普林斯顿高等研究院做研究，1961年起到斯坦福大学任教，1964年升任教授至今。

1962年之前科恩的主要工作是在调和分析方面，1959-1960年，他做出杰出的工作，特别是证明利特尔伍德猜想，这个成就是如此杰出，以至科恩获得美国数学会1964年度波谢($B\hat{o}cher$)奖。这是美国在分析方面的最高奖，是个了不起的荣誉。可是，这时他已转向另一领域并取得更大的成就：在1963年证明连续统假设的独立性，这时离他转行还不到一年。由于这个成就相当于在数学中建立了非欧几何——非康托尔集合论，从而荣誉纷至沓来：除了荣获菲尔兹奖之外，科恩还在1967年被选为美国国家科学院院士，同年荣获总统颁发的国家科学奖章。