Conway的超现实数理论¶

介绍¶

计算机专业的同学应该对高德纳比较熟悉，他曾经写过三卷本《计算机程序设计艺术》，获得IEEE先驱奖和ACM图灵奖。高德纳曾在1973年1月，在挪威用了六天写了本小册子，书名为《surreal numbers》

这本书中文翻译为《研究之美》，其英文书名直译应为《超现实数理论》。这本书高德纳用讲故事的方式叙述了一遍这个理论。这个理论使用集合定义数，即使用集合定义了0，1，2，...和相关计算。非常优美，通过这篇博客，简要介绍一些思想。

Conway对数字的定义¶

Conway定义所有数满足以下两条规则：

每个数，均由两个数集组成，数集指数的集合，如 $\{0,1,2,3\}$ 。这两个数集分为左集和右集，即可以写为 $\{0,1\},\{2,3\}$ ，其中 $\{0,1\}$ 称为左集， $\{2,3\}$ 称为右集。左集中的数，没有一个大于或等于右集中的数。
定义甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数左集中没有数大于或等于乙数，且乙数的右集中没有数小于或等于甲数。

数字的产生¶

Conway首先得到了数字 $0=(\phi, \phi)$ 。我们验证下条件1，首先0由两个数集产生，这两个数集均为空集，分为左集和右集，由于空集没有元素，自然满足左集中的数，没有一个大于或等于右集中的数。

根据0，我们继而得到1和-1. $-1 = (\phi, \{0\}), 1 = (\{0\}, \phi)$ . 读者可以自己验证这两个数是否满足条件1.

这里引出一个问题，为什么不是 $1 = (\phi, \{0\}), -1 = (\{0\}, \phi)$ ？由第二条，我们证明 $(\phi, \{0\}) \leq (\{0\}, \phi)$ . 首先，对于甲数 $(\phi, \{0\})$ ,左集为空集，自然满足没有数大于或等于乙数。对于乙数 $({0}, \phi)$ ,右集是空集，自然满足没有数小于或等于甲数。

读者可以自己验证 $(\phi, \{0\}) \leq (\phi, \phi)$ 和 $(\phi, \phi) \leq(\{0\}, \phi)$ . 这样这三个数的顺序就全出来了，我们可以自然地定义为-1，0，1，并且有 $-1\leq 0\leq 1$ .

总结¶

根据上述的规则，可以再定义-2，2，-3，3等等，甚至可以定义出无穷。之后，高德纳证明了一些定理，证明了加法，甚至乘法，感兴趣的朋友可以参考原书。

读者随着这本书的故事情节，体会到发展这个理论遇到的种种困难，也体会到解决这些问题的喜悦。所以中译本命名为《研究之美》也是有道理的。