超穷数理论

Quote

• Hypothesis non fingo.
• Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribe fideles ab ipsius nature voce lates et prolatas excipimus et desribimus.
• Veniet tempus, quo ista que nunc latent, in lucem dies extrabat et longioris avi dligentia.

奥尔格·康托在1895年和1897年《数学年鉴》上发表了两篇重要论文，题为“$Beitr\ddot{a}ge$ $zur$ $Begr\ddot{u}ndung$ $der$ $transfiniten$ $Mengenleche$”。这是康托二十多年关于超穷数理论研究的最后总结。中译名为《超穷数理论基础》。

势或基数的概念

在康托的论文中，势和基数是同一个概念，只不过称呼不同。势这个概念在高中就有所接触，那时定义势为集合中元素的个数。比如集合 $M$ 中有 $a,b,c$ 三个互不相同的元素，则我们称 $M$ 的势是3. 然而这样的定义是有严重问题的，我们并不知道3是什么。具体而言，康托建立的超穷数理论并没有建立在自然数理论上，所以不应该出现自然数。康托阐述势的概念如下：

63页

我们用 $M$ 的“势”或“基数”来命名这样一个一般概念，它由我们的下述思维活动所产生，即设想从集合 $M$ 中抽象掉其中所有元素 $m$ 的具体性质及其给定的序关系后还余下的东西。

我们用 $$ \overline{\overline{M}} $$ 表示作为这二重抽象结果的 $M$ 的势或基数。

首先势 $\overline{\overline{M}}$ 仍然是一个集合，其中的每个元素没有具体性质，并且没有序关系。

两个集合 $M,N$ 是等价的，用 $M\sim N$表示，如果按照某种法则，$M,N$ 之间能够建立起一一对应的关系。

有基本定理：两个集合 $M$ 和 $N$ 有相同的基数当且仅当它们等价。