民科自测卷（纯数学卷）¶

注

此份试卷主要用于自测对于数学基础知识的熟悉程度。如果自测者分数不达标，则原则上可认为其尚不具备任何研究数学的基本能力，是民科的可能性比较大，从而建议其放弃数学研究。测试达标为60分，满分100分。测试应闭卷完成。测试时间不限。

初等部分（20分）¶

设有一个底面半径为 $r$ ，高为 $a$ 的球缺。现有一个垂直于其底面的平面将其分成两个部分，这个平面与球缺底面圆心的距离为 $h$ 。请用二重积分求出球缺被平面所截较小那块图形的体积。（3分）
已知 Zeta 函数 $\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ . 请问双曲余切函数 coth的泰勒展开式系数和 $\zeta(2n)$ 有什么关系？其中 $n$ 是正整数。（3分）
求 $n$ 阶Hilbert矩阵 $\mathbf{H}$ 的行列式，其中 $H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$ . （4分）
叙述拓扑空间紧与序列紧的定义，在什么条件下这两者等价？并给出一个在不满足此条件下两者并不等价的例子。（3分）
对实数 $t$ ，求极限 $\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-A}^A(\frac{\sin x}{x})^2e^{itx}\text{d}x$ . （3分）
阶为 $pq,p^2q,p^2q^2$ 的群能否成为单群，证明你的结论。（4分）

叙述 Sobolev嵌入定理，并给出证明。（5分）
李代数 $so(3)$ 和 $su(2)$ 之间有什么关系？证明你的结论。（5分）
亏格为2的曲面被称为双环面，其可以看作是两个环面的连通和。请计算双环面 $T^1\sharp T^2$ 除去两点的同调群。（5分）
证明对于半单环 $R$ ，我们有 $R\cong Mat_{n_1}(\Delta_1)\times\cdots\times Mat_{n_k}(\Delta_k)$ ，其中 $\Delta_k$ 是除环。（5分）
证明Dedekind环是UFD当且仅当它是PID。（5分）
给出概复结构和复结构的定义，并给出例子说明有概复结构的流形不一定有复结构。（5分）
给定光滑曲面 $M$ 上的一点 $P$ ，假设以 $P$ 为中心， $r$ 为半径的测地圆周长为 $C(r)$ 。求曲面在点 $P$ 的高斯曲率 $K(P)$ . （5分）
证明 $n$ 维向量空间 $V$ 的正交群 $O(V)$ 的每一个元素都可以看作不超过 $n$ 个反射变换的积。（5分）