皮亚诺公理¶
皮亚诺公理（文字说明）
- PA1： 1是自然数。
- PA2： 对于任意自然数 n，其后继数 n' 都是自然数。
- PA3：对于任意自然数 n，n'\not=1都成立。
- PA4：对于任意自然数 m,n，若m'=n'，则 m=n。
- PA5：假设对自然数 n 的谓词 P(n) 而言，下面的(a)和(b)都成立。
(a) P(1)
(b) 对于任意自然数 k，P(k)成立，则P(k')成立。
此时，对于任意自然数 n，P(n)都成立。
皮亚诺公理（逻辑公式）
- PA1： 1\in\mathbb{N}
- PA2： \forall n\in\mathbb{N}[n'\in\mathbb{N}]
- PA3：\forall n\in\mathbb{N}[n'\not=1]
- PA4：\forall m,n\in\mathbb{N} [m'=n'\Rightarrow m=n]
- PA5：(P(1)\wedge \forall k\in\mathbb{N}[P(k)\Rightarrow P(k')])\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N} [P(n)]
皮亚诺公理定义了自然数。更深层次地，皮亚诺公理定义了一种数学结构，这种数学结构由无数个元素组成，无数个元素排列成一条序列的形状，每个元素后面都有且只有一个元素。在计算机科学中，这样的结构常常称为链表，更具体地，是单向无穷链表。单向指只有前一项指向后一项，没有后一项指向前一项。无穷指这个链表只有头，没有尾，包含无穷项。
皮亚诺公理通过5条性质，定义出了自然数这一数学基本结构。下面我们分别分析一下这5条性质。
PA1¶
PA1： 1\in\mathbb{N}
PA1明确了自然数集合 \mathbb{N}包含 1 这个元素，粉碎了 \mathbb{N} 是空集的可能。
PA2¶
PA2： \forall n\in\mathbb{N}[n'\in\mathbb{N}]
PA2使用了后继的概念，称 n' 是 n 的后继。后继只作用于一个元素上，这是与加法的本质不同。加法作用与两个元素上，如 a+b，是将加法作用在 a 和 b 上。这里使用后继而没有使用加法，原因是后继更本质。倘若从加法定义，如\forall a,b\in\mathbb{N}[a+b\in\mathbb{N}]，那么就暗含了 a 和 b 之间有某种关系，它们一起可以产生另一个自然数。这对于自然数是没有必要的，每个自然数可以只由另一个自然数产生。另一方面，若 a,b,c,d\in\mathbb{N}，e=a+b,f=c+d，判断 e 和 f 是否相同也是一件麻烦事。所以PA2选择了后继这个操作来产生新的自然数。
PA3¶
PA3： \forall n\in\mathbb{N}[n'\not=1]
PA3回答了为什么后继操作能产生新的自然数。目前 1\in\mathbb{N}，根据PA3有 1'\not=1，即 1'和 1 不同。根据PA2，有1'\in\mathbb{N}。这样 \mathbb{N}中有了两个元素。那么 1'' 和 1' 是否相同呢？这是PA4需要回答的问题。
另外，PA3说明了 1前面没有自然数。从而 1可以看成是构造自然数的一个起点。那么还有没有其他起点？同样PA4回答了这个问题。
PA4¶
PA4： \forall m,n\in\mathbb{N} [m'=n'\Rightarrow m=n]
假设 1''=1'，则根据PA4有1'=1，与PA3矛盾。故1''\not=1'。
实际上，我们可以得到 \underbrace{1^{'\cdots'}}_{m个'}\not=\underbrace{1^{'\cdots'}}_{n个'}，若 m\not=n。
更为重要的，PA4明确了各个元素组成链的结构，而没有环和交叉。如 a,b,c,d\in\mathbb{N}，且互不相同，则不可能 a\rightarrow b\rightarrow\cdots\rightarrow a，也不可能 a\rightarrow b\rightarrow d,c\rightarrow d等等。这样我们就知道只有 1一个起点。
注意PA4只说明了 m'=n'\Rightarrow m=n，而没有说 m'=n'\Leftarrow m=n。主要原因是后者没有必要成立。
PA5¶
PA5： (P(1)\wedge \forall k\in\mathbb{N}[P(k)\Rightarrow P(k')])\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N} [P(n)]
PA5是数学归纳法。最耐人寻味的是，皮亚诺公理将数学归纳法包含进来，意思是数学归纳法作为一个公理不需要怀疑，同时也暗示着数学归纳法和自然数的本质有关。